Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，?y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=1成立，則稱函數(shù)f（x）在定義域上為“相依函數(shù)”．給出下列五個函數(shù)①y=x³；②y=e^-x；③y=lgx；④y=2cosx+1；⑤y=x+

1

x

，則早其定義域上為“相依函數(shù)”的函數(shù)序號是

 

．（填出所有滿足條件的函數(shù)符號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)①y=x³，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一x₂=

3	2-x13

，即可得到成立．
y=4sinx，因?yàn)閥=4sinx是R上的周期函數(shù)，不成立．
②y=e^-x，特殊值法代入驗(yàn)證不成立成立．即可得到答案．
③y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然成立．
④y=2cosx+1，函數(shù)是R上的周期函數(shù)，函數(shù)的值域[-1，3]判斷正誤即可．
⑤y=x+

1

x

，利用特例以及函數(shù)的值域判斷即可．

解答： 解：①y=x³，取任意的x₁∈R，由 

f(x1)+f(x2)

2

=1，解得x₂=

3	2-x13

，可以得到唯一的x₂∈D．故滿足條件．
②y=e^-x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對于x₁=-3，f（x₁）=e³．要使 

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，則f（x₂）=2-e³＜0不成立．
③y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=1成立．
④y=2cosx+1，函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]，函數(shù)是R上的周期函數(shù)，存在x₂∈D，使 

f(x1)+f(x2)

2

=1成立．故滿足條件．
⑤y=x+

1

x

，對于x₁=1，f（x₁）=2．要使 

f(x1)+f(x2)

2

=1成立，則f（x₂）=0，∵f（x）∈（-∞，-2]∪[2，+∞），不成立．
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題主要考查新定義的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理和判斷能力．綜合性較強(qiáng)．