Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，且．
（1）求證：a＞0且；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個零點；
（3）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個零點，求|x₁-x₂|的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)f（1）=a+b+c=-，可得c=-a-b，結(jié)合3a＞2c＞2b，可得結(jié)論；
（2）利用零點存在定理，證明f（0）×f（2）＜0即可；
（3）|x₁-x₂|²=（x₁ +x₂）²-4x₁x₂==（-）²+2≥2，由此可得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵f（1）=a+b+c=-，∴c=-a-b
∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
若a＞0，則；若a=0，則0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，則，不成立．
（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，f（1）=-，△=b²-4ac=b²+4ab+6a²＞0
①當c＞0時，f（0）＞0，f（1）＜0，所以f（x）在（0，1）上至少有一個零點
②當c=0時，f（0）=0，f（2）=4a+2b=a＞0，所以f（x）在（0，2）上有一個零點
③當c＜0時，f（0）＜0，f（1）＜0，b=-a-c，f（2）=4a-3a-2c+c=a-c＞0，所以f（x）在（0，2）上有一個零點
綜上：所以f（x）在（0，2）上至少有一個零點．
（3）c=-a-b，（|x₁-x₂|）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b2-4ac
|a|=（+2）²+2
因為-3＜b/a＜-，所以（|x₁-x₂|）²∈[2，）
所以|x₁-x₂|∈[，）
點評：本題考查函數(shù)的零點，考查韋達定理的運用，考查不等式的證明，屬于中檔題．