Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知，，若對任意都成立，求的最大值；

（3）設(shè)，若存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) (3) 或．

【解析】

（1），討論a,確定單調(diào)性即可；（2）由（1）得，,對任意都成立，得，構(gòu)造函數(shù)，（），求導(dǎo)求其最值即可求解；（3）設(shè)，即

題設(shè)等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍，利用零點(diǎn)存在定理求解即可

（1）由，知．

若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增；

若，令，得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

綜上，增區(qū)間是，無減區(qū)間

，增區(qū)間是，減區(qū)間是

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，．

因?yàn)?/span>對任意都成立，所以，

所以．

設(shè)，（），由，

令，得，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

所以在處取最大值，且最大值為．

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值為．

（3）設(shè)，即

題設(shè)等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍．

① 當(dāng)時(shí)，由，，所以有零點(diǎn)．

② 當(dāng)時(shí)，若，由，得；

若，設(shè)h(x)=故h(x)單增，所以h(x)> h(0)=0,所以無零點(diǎn)．

③ 當(dāng)時(shí)，，

又存在，，所以有零點(diǎn)．

綜上，的取值范圍是或．