Question

若不等式|x+1|-|x-4|≥a+

4

a

，對任意的x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：絕對值不等式

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：令y=|x+1|-|x-4|，則由||x+1|-|x-4||≤|（x+1）-（x-4）|=5，求得y的最小值，再由題意得-5≥a+

4

a

，解出不等式即可．

解答： 解：令y=|x+1|-|x-4|，
則由||x+1|-|x-4||≤|（x+1）-（x-4）|=5，
即有-5≤y≤5，
當(dāng)x=-1時，取得最小值-5．
由題意得，-5≥a+

4

a

，
即有

a＞0 a2+5a+4≤0

或

a＜0 a2+5a+4≥0

，
解得a∈∅或a≤-4或-1≤a＜0．
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4]∪[-1，0）．
故答案為：（-∞，-4]∪[-1，0）．

點評：本題考查不等式恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求最值，考查不等式的解法，屬于中檔題和易錯題．