Question

11．若圓C：（x+1）²+（y-2）²=8關(guān)于直線2ax+by+6=0對(duì)稱，則由點(diǎn)M（a，b）向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由題意可知直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，推出a，b的關(guān)系，利用（a，b）與圓心的距離，半徑，求出切線長(zhǎng)的表達(dá)式，然后求出最小值．

解答 解：若圓C：（x+1）²+（y-2）²=8的圓心坐標(biāo)為（-1，2）半徑為2$\sqrt{2}$．
圓C：（x+1）²+（y-2）²=8關(guān)于直線2ax+by+6=0對(duì)稱，所以（-1，2）在直線上，可得-2a+2b+6=0，
即a=b+3．
所以點(diǎn)（a，b）向圓C所作切線長(zhǎng)：$\sqrt{（a+1）^{2}+（b-2）^{2}-8}$=$\sqrt{2（a-2）^{2}+10}$≥$\sqrt{10}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)弦長(zhǎng)最小，為$\sqrt{10}$．
故答案為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)稱問(wèn)題，圓的切線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．