已知對任意平面向量
AB
=（x，y），把
AB
繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角得到向量
AP
=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P．
（1）已知平面內點A（1，2），點B（1+
2
，2-2
2
）．把點B繞點A沿逆時針旋轉
π
4
后得到點P，求點P的坐標；
（2）設平面內直線l上的每一點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉
π
4
后得到的點組成的直線方程是l′：y=-
3
x+1，求原來的直線l方程．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用,直線與圓
分析：（1）直接根據(jù)題目定義求解即可；
（2）設直線l上的任意一點M（x，y），將M繞坐標原點沿逆時針方向旋轉
π
4
后得到點N，則
ON
=（xcos
π
4
-ysin
π
4
，xsin
π
4
+ycos
π
4
），代入直線方程是l′：y=-
3
x+1，即可求出直線l方程．
解答： 解：（1）∵點A（1，2），點B（1+
2
，2-2
2
），
∴
AB
=（
2
，-2
2
），
∵點B繞點A沿逆時針旋轉
π
4
后得到點P
∴由題意可知，
AP
=(
2
cos
π
4
+2
2
sin
π
4
，
2
sin
π
4
-2
2
cos
π
4
)
=（3，-1）．
∴點P的坐標為（3+1，-1+2）=（4，1）；
（2）設直線l上的任意一點M（x，y），
OM
旋轉后的得到
ON
，
則
ON
=（xcos
π
4
-ysin
π
4
，xsin
π
4
+ycos
π
4
）
=(
2
2
(x-y)，
2
2
(x+y))，
∴點N的坐標為(
2
2
(x-y)，
2
2
(x+y))，
代入直線方程是l′：y=-
3
x+1得，
2
2
(x+y)=-
3
•
2
2
(x-y)+1
化簡得y=(2+
3
)x-
6
+
2
2
．
點評：本題主要考查向量坐標表示的應用，以及代入法求直線方程．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產(chǎn)100臺某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元，設生產(chǎn)該產(chǎn)品x（百臺），其總成本為g（x）萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），并且銷售收人r（x）滿足r（x）=
-0.5x2+7x-10.5  (0≤x≤7)
13.5  (x＞7)

假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律求：
（Ⅰ）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應控制在什么范圍？
（Ⅱ）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時盈利最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

F（x）=sin（x+
7π
4
）+cos（x-
3π
4
），（x∈R）
（1）求F（x）的最小正周期、最小值、圖象對稱軸方程；
（2）若cos（α-β）=
4
5
，cos（α+β）=-
4
5
，0＜α＜β≤
π
2
，求F2（β）-2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（2，0），B（0，6），坐標原點O關于直線AB的對稱點為D，延長BD到P，且|PD|=2|BD|．已知直線l：ax+10y+84-108
3
=0經(jīng)過P，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若（2
OA
-
OB
）⊥
OC
，求cos2α；
（2）若|
OA
+
OC
|=
13
，且α∈（0，π），求
OB
，
OC
夾角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形．由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設∠AA1H1=α．
（1）試用α表示△AA1H1的面積；
（2）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時α的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

∫
1
0
(2x-3)dx=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC的頂點A（4，0），B（0，2），C（m+4，2m+2），若△ABC為鈍角三角形，則m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的函數(shù)f（x）=sin（ωx+
π
3
）sinωx，-1＜ω＜1，若直線x=
π
3
是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，則ω=
 
．

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