Question

某工廠的固定成本為3萬元，該工廠每生產(chǎn)100臺(tái)某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬元，設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為g（x）萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），并且銷售收人r（x）滿足r（x）=

-0.5x2+7x-10.5  (0≤x≤7) 13.5  (x＞7)

假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求：
（Ⅰ）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？
（Ⅱ）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）依題意得g（x）=x+3，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f（x），根據(jù)f（x）=r（x）-g（x），可得f（x）=

-0.5x2+6x-13.5，0≤x≤7 10.5-x，x＞7

，要使工廠有盈利，則有f（x）＞0，解不等式可得結(jié)論；
（Ⅱ）分段求出函數(shù)的最值，比較可得結(jié)論．

解答： 解：依題意得g（x）=x+3，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f（x），則f（x）=r（x）-g（x），
所以f（x）=

-0.5x2+6x-13.5，0≤x≤7 10.5-x，x＞7

（2分）
（I）要使工廠有盈利，則有f（x）＞0，
所以

0≤x≤7 -0.5x2+6x-13.5＞0

或

x＞7 10.5-x＞0

，（4分）
所以3＜x＜10.5．（7分）
所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于300臺(tái)小于1050臺(tái)的范圍內(nèi)．（8分）
（II）當(dāng)3＜x≤7時(shí)，f（x）=-0.5（x-6）²+4.5
故當(dāng)x=6時(shí)，f（x）有最大值4.5．（10分）
而當(dāng)x＞7時(shí)，f（x）＜10.5-7=3.5．
所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，盈利最大． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出工廠生產(chǎn)的實(shí)際應(yīng)用問題，求最大盈利時(shí)的產(chǎn)量x值，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法和用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題等知識(shí)，屬于中檔題．