Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-4x-5|，當(dāng)k＞6時，求證：在區(qū)間[-1，5]上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）圖象上方．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的圖象

專題：證明題

分析：首先求出區(qū)間[-1，5]上的函數(shù)f（x）的解析式，并與直線y=kx+3k聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的方程，由判別式為0，求出k=2或k=18，結(jié)合圖象說明k=2相切，k=18無交點(diǎn)，從而說明k＞6，結(jié)論成立．

解答： 證明：當(dāng)x∈[-1，5]時，f（x）=-x²+4x+5，
由

y=kx+3k y=-x2+4x+5

消去y，得x²+（k-4）x+（3k-5）=0
令△=（k-4）²-4（3k-5）=0，
解得 k=2或k=18，
在區(qū)間[-1，5]上，
當(dāng)k=2時，y=2（x+3）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象
只交于一點(diǎn)（1，8），
當(dāng)k=18時，y=18（x+3）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象沒有交點(diǎn)．
如圖可知，由于直線y=k（x+3）過點(diǎn)（-3，0），
當(dāng)k＞6時，直線y=k（x+3）是由直線y=2（x+3）繞點(diǎn)（-3，0）逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．
因此，在區(qū)間[-1，5]上，y=kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)圖象問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，結(jié)合圖象，觀察圖象的變化，從而得證，這種數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，值得重視．