Question

已知函數(shù)f（x）=

3x

x+3

，數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)由x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）確定．
 （1）求證：{

1

xn

}是等差數(shù)列；
 （2）當(dāng)x₁=

1

2

時，求x₂₀₁₄．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由f（x）=

3x

x+3

，數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)x_n=f（x_n-1），可得x_n=

3xn-1

xn-1+3

，取倒數(shù)，即可證明：{

1

xn

}是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)x₁=

1

2

時，求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可求x₂₀₁₄．

解答： （1）證明：∵f（x）=

3x

x+3

，數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)x_n=f（x_n-1），
∴x_n=

3xn-1

xn-1+3

，
∴

1

xn

=

1

xn-1

+

1

3

，
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

3

，
∴{

1

xn

}是等差數(shù)列；
（2）解：x₁=

1

2

時，

1

x1

=2，
∴

1

xn

=2+

1

3

（n-1）=

n+5

3

，
∴x_n=

3

n+5

，
∴x₂₀₁₄=

3

2019

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)，正確證明數(shù)列是等差數(shù)列是關(guān)鍵．