【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，當(dāng)時，判斷是否存在使得，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析（2）不存在；見解析

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，兩種情況，分別求解對應(yīng)的不等式，即可得出結(jié)果；

（2）先由（1）得，，推出，由時，，得到，分別討論，兩種情況，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的最值等，即可得出結(jié)果.

（1）的定義域為，

由，得.

①若，則當(dāng)時，，

此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

②若，令，解得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

此時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時，不存在，使得，證明如下：

由（1）知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，故，即.

因為，所以當(dāng)時，，故.

①當(dāng)時，再由

令，則.

令，得.

當(dāng)時，；當(dāng)，.

所以，故，

所以當(dāng)時，對，都有.

②當(dāng)時，對于，，故.

綜合①，②，當(dāng)時，對于任意的，都有.

所以，當(dāng)時，不存在，使得.

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A.該地水稻的平均株高為100cm

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根據(jù)散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異常點．經(jīng)調(diào)查得知，考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，考生因故未能參加物理考試．為了使分析結(jié)果更科學(xué)準確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計的值：其中，分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績、物理成績，，2，…，42，與的相關(guān)系數(shù)．

（1）若不剔除兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時與的相關(guān)系數(shù)為．試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；

（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并估計如果考生參加了這次物理考試（已知考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>125分），物理成績是多少？

（3）從概率統(tǒng)計規(guī)律看，本次考試七市州的物理成績服從正態(tài)分布，以剔除后的物理成績作為樣本，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本方差作為的估計值．試求七市州共50000名考生中，物理成績位于區(qū)間（62.8，85.2）的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

附：①回歸方程中：

②若，則

③

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