Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3a_n-2（n=1，2，…）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和，推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）通過b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），且b₁=-3，寫出數(shù)列n=2，3，4…n，的關(guān)系式，通過累加法，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用通項(xiàng)公式，直接求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）證：因?yàn)?nbsp; S_n=3a_n-2（n=1，2，…），S_n-1=3a_n-1-2（n=2，3，…），
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1，整理得an=

3

2

an-1．
由S_n=3a_n-2，令n=1，得a₁=3a₁-2，解得a₁=1．
所以{a_n}是首項(xiàng)為1，公比是

3

2

的等比數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）解：由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，…），
得b_n+1-b_n=a_n（n=1，2，…）．
所以

b2-b1=a1， b3-b2=a2， … bn-bn-1=an-1，

從而 bn=b1+[a1+a2+…+an-1]=-3+

1-( 3 2 )n-1

1- 3 2

=2(

3

2

)n-1-5．
Tn=2[1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-1]-5n=4×(

3

2

)n-5n-4．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查等比數(shù)列的判斷方法，通項(xiàng)公式的求法等知識(shí)，考查累加法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，�？碱}型．