Question

如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G△AOC的重心，求證：QG∥平面PBV．
（3）若AC=BC=

3

，PC與平面ACB所成的角為

π

3

，求三棱錐P-ACB的
體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接根據(jù)線線垂直，得到線面垂直．
（2）利用中點(diǎn)和重心轉(zhuǎn)化出相交直線平行于相交直線得到面面平行，進(jìn)一步得到線面平行．
直接利用線面夾角求出錐體的高，進(jìn)一步計(jì)算出錐體的體積．

解答： （1）證明：AB是圓O的直徑，
所以：AC⊥BC，
PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)，
所以：PA⊥BC，
BC⊥平面PAC
（2）解：Q為PA的中點(diǎn)，G△AOC的重心，延長(zhǎng)OG交AC于M
所以：M是AC的中點(diǎn)，
QM∥PC，OM∥BC
所以：平面OQM∥平面PBC
QG?平面OQM
QG∥平面PBC
（3）解：AC=BC=

3

，PC與平面ACB所成的角為

π

3

，
由于PA垂直圓O所在的平面
所以∠PCA=

π

3

進(jìn)一步解得：PA=3
VP-ACB=

1

3

S△ACB•PA=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直的判定定理，線面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，線面的夾角的應(yīng)用，錐體的體積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．