【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，底面，，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，進(jìn)而可得出；

（2）利用二面角的定義得出，可計(jì)算出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值.

（1）在梯形中，，，則，，

且，則，在中，，，

由余弦定理得，

，則，

平面，平面，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，，，所以，二面角的平面角為，

平面，平面，，

為的中點(diǎn)，，，

則，即，解得，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、、、，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，令，則，，可得，

設(shè)直線與平面所成角為，則.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)均在橢圓上，點(diǎn)在拋物線上，若的重心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】BMI指數(shù)（身體質(zhì)量指數(shù)，英文為BodyMassIndex，簡(jiǎn)稱BMI）是衡量人體胖瘦程度的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，BMI=體重（kg）/身高（m）的平方.根據(jù)中國(guó)肥胖問(wèn)題工作組標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)BMI≥28時(shí)為肥胖.某地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了1200名35歲以上成人的身體健康狀況，其中有200名高血壓患者，被調(diào)查者的頻率分布直方圖如下：

（1）求被調(diào)查者中肥胖人群的BMI平均值；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為35歲以上成人患高血壓與肥胖有關(guān).

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

肥胖

不肥胖

合計(jì)

高血壓

非高血壓

合計(jì)

附：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司計(jì)劃投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，預(yù)計(jì)能獲得10萬(wàn)元1000萬(wàn)元的收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)開發(fā)科研小組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金(單位:萬(wàn)元)隨收益(單位:萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)收益的.

（Ⅰ）若建立獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型，試確定這個(gè)函數(shù)的定義域、值域和的范圍；

（Ⅱ）現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型:①；②.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司的要求?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x）=xlnx，g(x)=,

（1）求f(x)的最小值；

（2）對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）證明：對(duì)一切，都有成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為.點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)，，的面積為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，證明：的面積是定值，并求此定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論：

；平面；

三棱錐的體積為定值；異面直線所成的角為定值，

其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的準(zhǔn)線為，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是拋物線C上橫坐標(biāo)為的一點(diǎn)，若點(diǎn)B到的距離等于．

(1)求拋物線C的方程，

(2)設(shè)A是拋物線C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線AO交直線于點(diǎn)M，拋物線C在點(diǎn)A處的切線m交直線于點(diǎn)N，求證：以點(diǎn)N為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在一個(gè)半徑為2的鋼球內(nèi)放置一個(gè)用來(lái)盛特殊液體的正四棱柱容器，要使該容器所盛液體盡可能多，則該容器的高應(yīng)為_____．

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