Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），其中角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，

3

），且0＜φ＜π．
（1）求φ的值；
（2）求f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由任意角的三角函數(shù)定義算出tanφ=

3

，結(jié)合0＜φ＜π，可得φ=

π

3

；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的公式建立關(guān)于x的不等式解出f（x）的減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．再取k=0得到區(qū)間[

π

12

，

7π

12

]，即為f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（1）∵角φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，

3

），
∴tanφ=

3

1

=

3

，
又∵0＜φ＜π，∴φ=

π

3

；
（2）由（1）得f（x）=2sin（2x+φ）=2sin（2x+

π

3

），
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，（k∈Z）．
取k=0，可得f（x）在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間為[

π

12

，

7π

12

]．

點(diǎn)評：本題給出角φ的終邊經(jīng)過定點(diǎn)P，求φ的值并依此求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間．著重考查了特殊角的三角函數(shù)值、任意角的三角函數(shù)定義和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于中檔題．