Question

已知A，B分別為x軸，y軸上的兩個動點，且|AB|=3，動點P滿足

AP

=

1

2

PB

（1）求點P的軌跡E的方程；
（2）已知點M（1，0），直線y=kx+m（k≠0）與曲線E交于點C、D兩個不同的點，以MC，MD為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y）由|AB|=3利用兩點之間的距離公式可得得

x

2 0

+

y

2 0

=9，由

AP

=

1

2

PB

，解得

x0= 3 2 x y0=3y

，再利用“代點法”即可得出；
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用菱形的性質(zhì)和中點坐標公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y）
由|AB|=3得

x

2 0

+

y

2 0

=9，
∵

AP

=

1

2

PB

，解得

x0= 3 2 x y0=3y

，代入上述方程可得

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，
由△＞0解得m²＜4k²+1．
∴x1+x2=-

8km

4k2+1

．
設(shè)線段CD中點為G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
∵四邊形是菱形，∴kMG=

y1+y2 2

x1+x2 2 -1

=-

1

k

，
代入化簡得m=-

4k2+1

3k

，代入m²＜4k²+1
解得k＞

5

5

或k＜-

5

5

．
∴k的取值范圍是(-∞，-

5

5

)∪(

5

5

，+∞)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程與性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、菱形的性質(zhì)、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．