已知數(shù)列{an}中，a1=1，
an+1
an
=1-
1
(n+1)2
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
1
2
1
2
．
分析：由a1=1，
an+1
an
=1-
1
(n+1)2
(n∈N*)，知an+1=an[1-
1
(n+1)2
]，a2=1-
1
22
=
3
4
=
1
2
+
1
4
，a3=
3
4
(1-
1
32
)=
2
3
=
1
2
+
1
6
，a4=
2
3
(1-
1
42
)=
5
8
=
1
2
+
1
8
，…，an=
1
2
+
1
2n
，由此能求出
lim
n→∞
an．
解答：解：∵a1=1，
an+1
an
=1-
1
(n+1)2
(n∈N*)，
∴an+1=an[1-
1
(n+1)2
]，
∴a2=1-
1
22
=
3
4
=
1
2
+
1
4
，
a3=
3
4
(1-
1
32
)=
2
3
=
1
2
+
1
6
，
a4=
2
3
(1-
1
42
)=
5
8
=
1
2
+
1
8
，
…
an=
1
2
+
1
2n
，
∴則
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
(
1
2
+
1
2n
)=
1
2
．
故答案為：
1
2
．
點評：本題考查數(shù)列的極限的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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