設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）
（1）若x＞0證明：f(x)＞
2x
x+2
．
（2）若不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-2bm-3對(duì)于x∈[-1，1]及b∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（1）令g(x)=f(x)-
2x
x+2
=ln(x+1)-
2x
x+2
，
則g′(x)=
1
x+1
-
2(x+2)-2x
(x+2)2
=
x2
(x+1)(x+2)2
．
∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞
2x
x+2
．
（2）原不等式等價(jià)于
1
2
x2-f(x2)≤m2-2bm-3．
令h(x)=
1
2
x2-f(x2)=
1
2
x2-ln(1+x2)，則h′(x)=x-
2x
1+x2
=
x3-x
1+x2
．
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，h（x）max=0，∴m2-2bm-3≥0．
令Q（b）=-2mb+m2-3，則
Q(1)=m2-2m-3≥0
Q(-1)=m2+2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2
（I）若當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln
e2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為P．證明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•楊浦區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x2-x-6）的定義域?yàn)榧螦，集合B={x|
5x+1
＞1}．請(qǐng)你寫出一個(gè)一元二次不等式，使它的解集為A∩B，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2(a＞
2
)，
（1）若a=
3
2
，解關(guān)于x不等式f(e
x
-
3
2
)＜ln2+
1
4
；
（2）證明：關(guān)于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+2x2．
（1）若當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式f（2x-1）＜lna．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案