Question

12．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．過點（$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l經(jīng)過橢圓的右焦點且與橢圓相交于M、N兩點，求弦長|MN|．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由（1）可得右焦點F（$\sqrt{2}$，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線l的方程為：y=x-$\sqrt{2}$，與橢圓方程聯(lián)立可得：4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）由（1）可得右焦點F（$\sqrt{2}$，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線l的方程為：y=x-$\sqrt{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，
化為4x²-6$\sqrt{2}$x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，x₁x₂=$\frac{3}{4}$．
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{2[（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-4×\frac{3}{4}]}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．