Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x）-m|＜2成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由x的范圍可得f（x）的范圍，由恒成立可得m＜[f（x）+2]_min且m＞[f（x）-2]_max，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴f（x）∈[2，3]，
由|f（x）-m|＜2可得-2＜f（x）-m＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立．
∴m＜[f（x）+2]_min=4，且m＞[f（x）-2]_max=1．
故m的取值范圍是（1，4）．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的恒等變形，涉及恒成立問題，屬中檔題．