Question

過點M（0，-1）的直線l交雙曲線2x²-y²=3于兩個不同的點A，B，O是坐標原點，直線OA與OB的斜率之和為1，求直線l的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設過點M（0，-1）的直線l為y=kx-1，代入雙曲線2x²-y²=3，消去y，得到關于x的方程，運用判別式大于0，韋達定理，結合直線的斜率公式，計算即可得到k，進而得到所求直線方程．

解答： 解：設過點M（0，-1）的直線l為y=kx-1，
代入雙曲線2x²-y²=3，可得（2-k²）x²+2kx-4=0，
判別式4k²+16（2-k²）＞0，解得-

2 6

3

＜k＜

2 6

3

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-2k

2-k2

，x₁x₂=

-4

2-k2

，
由直線OA與OB的斜率之和為1，
則

y1

x1

+

y2

x2

=1，
即

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=1，
即有2k-1=

x1+x2

x1x2

=

-2k

-4

，
解得k=

2

3

．
檢驗k=

2

3

時，判別式大于0．
則有直線l的方程為y=

2

3

x-1．

點評：本題考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查運算能力，屬于基礎題．