解:(1)當(dāng)

時(shí),

,

;
對(duì)于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù),
∴

,

.
(2)①在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)是f
1(x),f
2(x)的“活動(dòng)函數(shù)”,則f
1(x)<f(x)<f
2(x)
令

<0,對(duì)x∈(1,+∞)恒成立,
且h(x)=f
1(x)-f(x)=

<0對(duì)x∈(1,+∞)恒成立,
∵

1)若

,令p′(x)=0,得極值點(diǎn)x
1=1,

,
當(dāng)x
2>x
1=1,即

時(shí),在(x
2,+∞)上有p′(x)>0,
此時(shí)p(x)在區(qū)間(x
2,+∞)上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有p(x)∈(p(x
2),+∞),不合題意;
當(dāng)x
2<x
1=1,即a≥1時(shí),同理可知,p(x)在區(qū)間(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合題意;
2)若

,則有2a-1≤0,此時(shí)在區(qū)間(1,+∞)上恒有p′(x)<0,
從而p(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù);
要使p(x)<0在此區(qū)間上恒成立,只須滿足


,
所以

≤a≤

.
又因?yàn)閔′(x)=-x+2a-

=

<0,h(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),
h(x)<h(1)=

+2a≤0,所以a≤

綜合可知a的范圍是[

,

].
②當(dāng)

時(shí),

則y=f
2(x)-f
1(x)=

x
2-

lnx,x∈(1,+∞).
因?yàn)閥′=

>0,y=f
2(x)-f
1(x)在(1,+∞)為增函數(shù),
所以f
2(x)-f
1(x)>f
2(1)-f
1(1)=

.
設(shè)R(x)=f
1(x)+

(0<λ<1),則f
1(x)<R(x)<f
2(x),
所以在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f
1(x),f
2(x)的“活動(dòng)函數(shù)”有無窮多個(gè).
分析:(1)由題意得

,

>0,∴f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù),即可求出函數(shù)的最值.
(2)①由題意得:令

<0,對(duì)x∈(1,+∞)恒成立,且h(x)=f
1(x)-f(x)=

<0對(duì)x∈(1,+∞)恒成立,

分類討論當(dāng)

或

時(shí)兩種情況求函數(shù)的最大值,可得到a的范圍.又因?yàn)閔′(x)=-x+2a-

=

<0,h(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),可得到a的另一個(gè)范圍,綜合可得a的范圍.
②設(shè)y=f
2(x)-f
1(x)=

x
2-

lnx,x∈(1,+∞).因?yàn)閥′=

>0,y=f
2(x)-f
1(x)在(1,+∞)為增函數(shù),
所以f
2(x)-f
1(x)>f
2(1)-f
1(1)=

.設(shè)R(x)=f
1(x)+

(0<λ<1),則f
1(x)<R(x)<f
2(x).
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,利用最值解決恒成立問題,二對(duì)于新定義題型關(guān)鍵是弄清新概念與舊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系即可,結(jié)合著我們已學(xué)的知識(shí)解決問題,這是高考考查的熱點(diǎn)之一.