【題目】【2017黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)仿真模擬如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD=2,PD=2,PA⊥PD,Q為PD的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:CQ∥平面PAB;

(Ⅱ)求直線PD與平面AQC所成角的正弦值.

【答案】見解析

【解析】

(Ⅰ)證明 如圖所示,取PA的中點(diǎn)N,連接QN,

BN.在△PAD中,PN=NA,PQ=QD,

所以QN∥AD,且QN=AD.

在△APD中,PA=2,PD=2,PA⊥PD,

所以AD==4,而BC=2,所以BC=AD.

又BC∥AD,所以QN∥BC,且QN=BC,

故四邊形BCQN為平行四邊形,所以BN∥CQ.

又BN平面PAB,且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

(Ⅱ)如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接BM;取BM的中點(diǎn)O,連接BO、PO.

由(1)知PA=AM=PM=2,

所以△APM為等邊三角形,

所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.

如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,OD,OP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),D(0,3,0),A(0,-1,0),B(,0,0),P(0,0,),C(,2,0),

=(,3,0).

因?yàn)镼為DP的中點(diǎn),故Q,所以.

設(shè)平面AQC的法向量為m=(x,y,z),

可得

令y=-,則x=3,z=5. 故平面AQC的一個法向量為m=(3,,5).

設(shè)直線PD與平面AQC所成角為θ.

則sinθ= |cos〈,m〉|=.

從而可知直線PD與平面AQC所成角正弦值為.

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