Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若曲線 在 和 處的切線互相平行，求 的值；

(2)求 的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè) ，若對任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）①當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．②當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是和單調(diào)遞減區(qū)間是.③當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是．當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)曲線 ）在 和 處的切線互相平行，求得 值；
（2）求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的符號分， ， 四種情況討論，求得單調(diào)區(qū)間；
（3）由題意得，若要命題成立，只須當(dāng) ]時， ．利用導(dǎo)數(shù)分別求得 的最大值，解不等式得出的取值范圍．

試題解析　（1） ．(由 ，解得 .

(2)

①當(dāng) 時，

在區(qū)間 上 在區(qū)間 上

故 的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，＋∞)．

②當(dāng) 時， >2，

在區(qū)間(0,2)和 上f′(x)>0；在區(qū)間 上

故的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是 .

③當(dāng) 時，f′(x)＝ img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/17/cd495754/SYS201712291734522978924647_DA/SYS201712291734522978924647_DA.051.png" width="57" height="48" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．

④當(dāng) 時，0< <2，

在區(qū)間 和(2，＋∞)上f′(x)>0；在區(qū)間 上f′(x)<0，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是 和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是 .

(3)由已知，在(0,2]上有

由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，

①當(dāng)a≤ 時，f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2.

所以－2a－2＋2ln2<0，解得a>ln2－1.

故ln2－1<a≤ .

②當(dāng) 時，f(x)在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，故 由 可知

所以

綜上所述，