Question

【題目】已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)， ，且滿足，證明直線過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1） （2）（2，0）

【解析】試題分析：（1）由直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意，直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為， ，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理得與，再由，即可求出，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（1）由已知，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

∴

∴

∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意，直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，

.

聯(lián)立消去，得.

∴， ， ，

∵

∴

又∵，

∴

∴

∴或

∵

∴（此時(shí)）

∴直線的方程為，

故直線過(guò)軸上一定點(diǎn).