Question

1．函數(shù)f（x）=mx²+（m-3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)．
（1）求m的取值范圍；
（2）對于（1）中的m，設(shè)t=2-m，不等式k•（${\frac{3}{2}}$）^[t]≥[t]（[t][${\frac{1}{t}}$]+[t]+[${\frac{1}{t}}$]+1）恒成立，求k的取值范圍（[x]表示不超過x的最大整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=mx²+（m-3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，對m與0的大小關(guān)系進行討論，即可得m的取值范圍．
（2）利用已知條件，轉(zhuǎn)化構(gòu)造成數(shù)列問題求解．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，
當m＞0時，$\left\{{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-\frac{m-3}{2m}＞0}\end{array}}\right.$，解得0＜m≤1；
當m=0時，f（x）=-3x+1，交點為（$\frac{1}{3}$，0），滿足題意；
當m＜0時，∵f（0）=1＞0恒成立，∴滿足題意；
綜上所述，m∈（-∞，1]．
（2）由（1）可得m∈（-∞，1]，則t≥1，t=1時，$k≥\frac{8}{3}$；
1＜t＜2時，$k•\frac{3}{2}≥2，k≥\frac{4}{3}$；
?n∈N^*，n≥2，當n≤t≤n+1時，[t]=n，$\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{t}≤\frac{1}{n}，[{\frac{1}{t}}]=0$，
由已知$k•{（{\frac{3}{2}}）^n}≥n（{n+1}）$，則$k≥n（{n+1}）{（{\frac{2}{3}}）^n}$，
令${a_n}=n（{n+1}）{（{\frac{2}{3}}）^n}$，則${a_{n+1}}=（{n+1}）（{n+2}）{（{\frac{2}{3}}）^{n+1}}$，
∵${a_{n+1}}-{a_n}=（{n+1}）{（{\frac{2}{3}}）^n}\frac{4-n}{3}$，
∴n=2，3時，a_n+1＞a_n；n=4時，a₅=a₄；n≥5時，a_n+1＜a_n，
∴$?n∈{N^*}，n≥2，{（{a_n}）_{max}}={a_4}=\frac{320}{81}$，
∴$?n∈{N^*}，n≥2，k≥\frac{320}{81}$，
綜上所述，$k∈[{\frac{320}{81}，+∞}）$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的延伸和運用能力，轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造思想．屬于難題．