Question

如圖，在直三棱柱中，平面側面

  （Ⅰ）求證：

  （Ⅱ）若，直線AC與平面所成的角為，二面角

Answer 1

本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角、二面角等有關知識，考查空間想象能力和推理論證能力.

   (Ⅰ)證明：如右圖，過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，則

由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩側面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因為三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

則AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,從而BC⊥側面A₁ABB₁,

又AB側面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

   (Ⅱ)證法1：連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=.

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠A₁AD＝,

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ與∠AA₁D都是銳角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠A₁AD＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝.

      證法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設AB=c(c＜a)，則B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

?=(0,0,a)

設平面A₁BC的一個法向量為n=(x,y,z),

則由

可取n＝（0，－a，c），于是

n·=ac＞0，與n的夾角為銳角,則與互為余角.

sin=cos=,

cos=

所以sin=cos=sin(),又0＜，＜，所以+=.