Question

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)若，是否存在k和m，使得 ，，若存在，求出k和m的值，若不存在，說明理由

(Ⅱ)設(shè) 有兩個(gè)零點(diǎn) ，且 成等差數(shù)列， 是 G (x)的導(dǎo)函數(shù)，求證：

 

Answer 1

(Ⅰ) 存在k=2，m=-1；(Ⅱ)見解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 先求，然后根據(jù)條件很容易求出a，b，此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)和圖象有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），根據(jù)問題：是否存在k和m，使得，，也就是找到一條直線要同時(shí)滿足這兩個(gè)不等式．根據(jù)存在的公共點(diǎn)可以想到是否是過這一點(diǎn)的直線，故先求出還在（1，1）的切線，然后去驗(yàn)證它是否同時(shí)滿足，即可．(Ⅱ)先求出，根據(jù)條件x1，x2是它的兩個(gè)零點(diǎn)，所以x12?alnx1?bx1+2＝0且x22?alnx2?bx2+2＝0．根據(jù)所要證的結(jié)論：，所以需要求，利用x1+x2=2x0，將用x1，x2表示出來，然后判斷它是否大于0即可．

試題解析：(Ⅰ)=，=，由得：a+b＝2， b＝1，解得，解得a=b=1．∴=．

因與有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），易求得函數(shù)=在點(diǎn)（1，1）的切線方程為．

下面驗(yàn)證，都成立即可．

設(shè)h（x）=lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1，所以=＝．

x∈（0，1）時(shí)，＞0；x∈（1，+∞）時(shí)，＜0，∴x=1時(shí)，取最大值=0；

∴l(xiāng)nx+x≤2x-1恒成立，即≤2．

由于，得，∴≥恒成立．

故存在這樣的k，m，且k=2，m=-1． 6分

(Ⅱ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719212846973177/SYS201411171921430484823017_DA/SYS201411171921430484823017_DA.006.png">==，有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，

則x12?alnx1?bx1+2＝0且x22?alnx2?bx2+2＝0，

兩式相減得，x12? x22-a(lnx1? lnx2)-b(x1?x2)＝0，

所以=，又因?yàn)閤1+x2=2x0，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719212846973177/SYS201411171921430484823017_DA/SYS201411171921430484823017_DA.008.png">=，所以===

==，

當(dāng)0＜＜時(shí)，令=，則＞1，且=，

設(shè)=（t＞1），所以==＞0，所以在[1，+）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t＞1時(shí)，＞=0，即＞0，

又因?yàn)閍＞0，＞0，所以＞0，

當(dāng)時(shí)，同理可證＞0，

綜上所述＞0， 12分

考點(diǎn)：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，函數(shù)的切線，函數(shù)零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，運(yùn)算求解能力，推理論證能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想