Question

【題目】已知點(diǎn)及圓： .

(1)若直線過(guò)點(diǎn)且與圓心的距離為，求直線的方程．

(2)設(shè)直線與圓交于， 兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,利用圓心到直線的距離等于建立方程,解出子線的斜率,由此求得直線方程.當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線方程為,經(jīng)驗(yàn)證可知也符合.(2)將直線方程代入圓的方程,利用判別式大于零求得的取值范圍,利用”圓的弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心”,求出直線的斜率,進(jìn)而求得的值,由此判斷不存在.

試題解析:

(1)設(shè)直線l的斜率為k(k存在)，則方程為y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.

又圓C的圓心為(3，－2)，半徑r＝3，

由＝1，解得k＝－.

所以直線方程為，即3x＋4y－6＝0.

當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝2，經(jīng)驗(yàn)證x＝2也滿足條件

(2)把直線y＝ax＋1代入圓C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.

由于直線ax－y＋1＝0交圓C于A，B兩點(diǎn)，

故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，

解得a<0.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)．

設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在．

由于l2垂直平分弦AB，故圓心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.

而kAB＝a＝－，所以a＝.

由于，故不存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB