Question

如圖，在正△ABC中，點D、E分別在邊BC，AC上，且BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA，AD，BE相交于點P．求證：
（Ⅰ）四點P、D、C、E共圓；
（Ⅱ）AP⊥CP．

Answer 1

考點：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：直線與圓

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出△ABD≌△BCE，由此能證明四點P，D，C，E共圓．
（II）連結(jié)DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四點P，D，C，E共圓知，∠DPC=∠DEC，由此能證明AP⊥CP．

解答： 證明：（I）在△ABC中，由BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA，知：
△ABD≌△BCE，…（2分）
∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．
所以四點P，D，C，E共圓．…（5分）
（II）如圖，連結(jié)DE．
在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，
由正弦定理知∠CED=90°．…（8分）
由四點P，D，C，E共圓知，∠DPC=∠DEC，
所以AP⊥CP．…（10分）

點評：本題考查四點共圓的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意正弦定理的合理運用．