如果△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓,且2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB
,求△ABC的面積的最大值.
分析:已知等式利用正弦定理化簡,整理得到a2+b2-c2=
2
ab,再利用余弦定理表示出cosC,將得出關(guān)系式代入求出cosC的值,利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù),利用正弦定理表示出c=
2
R,代入a2+b2-c2=
2
ab,整理后利用基本不等式求出ab的最大值,即可確定出三角形ABC面積的最大值.
解答:解:已知等式整理得:2RsinAsinA-2RsinCsinC=(
2
a-b)sinB,
即asinA-csinC=(
2
a-b)sinB,
利用正弦定理化簡a2-c2=
2
ab-b2,即a2+b2-c2=
2
ab,
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
2
ab
2ab
=
2
2
,
∵C為三角形內(nèi)角,∴C=45°,
c
sinC
=2R,∴c=2RsinC=
2
R,
∴a2+b2-2R2=
2
ab,
∴2R2+
2
ab=a2+b2≥2ab,即ab≤
2R2
2-
2
,
則S=
1
2
absinC=
2
4
ab≤
2
4
2R2
2-
2

則Smax=
2
+1
2
R2,此時a=b取得等號.
點(diǎn)評:此題考查了正弦、余弦定理,基本不等式的運(yùn)用,以及三角形面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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OA
+4
OB
+5
OC
=
0
,則∠AOB=
 
,△ABC的面積S=
 

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27
15
27
15

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