Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足（1-q）S_n+qa_n=1，且q（q-1）≠0．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，求證：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出a₁=1．利用當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n-S_n-1=a_n，利用q（q-1）≠0，說明{a_n}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求出S_n=

1-anq

1-q

，靈活S₃+S₆=2S₉，得到a₂+a₅=2a₈．說明a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，由（1-q）S₁+qa₁=1，a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，由（1-q）S_n+qa_n=1，得（1-q）S_n-1+qa_n-1=1，兩式相減得a_n=qa_n-1，
又q（q-1）≠0，所以{a_n}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，
故a_n=q^n-1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S_n=

1-anq

1-q

，又S₃+S₆=2S₉，得

1-a3q

1-q

+

1-a6q

1-q

=

2(1-a9q)

1-q

，
化簡得a₃+a₆=2a₉，兩邊同除以q得a₂+a₅=2a₈．
故a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的求法，考查分析問題解決問題的能力．