Question

【題目】對于實(shí)數(shù)，將滿足“且為整數(shù)”的實(shí)數(shù)稱為實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，用記號表示．對于實(shí)數(shù)，無窮數(shù)列滿足如下條件：，其中．

（1）若，求數(shù)列；

（2）當(dāng)時(shí)，對任意的，都有，求符合要求的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；

（3）若是有理數(shù)，設(shè)（是整數(shù)，是正整數(shù)，互質(zhì)），問對于大于的任意正整數(shù)，是否都有成立，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）成立，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用新定義，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分類討論，利用，即可求符合要求的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；（3）由是有理數(shù)，可知對一切正整數(shù)，為或正有理數(shù)，可設(shè)（是非負(fù)整數(shù)，是正整數(shù)，且，互質(zhì)），利用反證法可得結(jié)論．

試題解析：（1），，

若，則，

所以.

（2），所以，所以，

①當(dāng)，即時(shí)，，所以，

解得（，舍去）.

②當(dāng)，即時(shí)，，所以，

解（，舍去）.

③當(dāng)，即時(shí)，，所以，

解得（舍去）.

綜上.

（2）成立.由是有理數(shù)，可知對一切正整數(shù)，為0或正有理數(shù)，

可設(shè)（是非負(fù)整數(shù)，是正整數(shù)，且既約）.

①由，可得；

②若，設(shè)（，，是非負(fù)整數(shù)），

則，而由得，

，故，,可得.

若則，

若均不為0，則這正整數(shù)互不相同且都小于，

但小于的正整數(shù)共有個(gè)，矛盾.

故中至少有一個(gè)為0，即存在，使得.

從而數(shù)列中以及它之后的項(xiàng)均為0，所以對不大于的自然數(shù)，都有.