【題目】如圖,在梯形中,
,
,
,
,四邊形
是菱形,
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由勾股定理可得,結合面面垂直的性質有
.由菱形的性質可得
,則
平面
,
.
(Ⅱ)取的中點
,連接
,以
、
、
分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系,據此計算可得平面
的法向量
,平面
的法向量
.
則二面角的平面角的余弦值
,正切值為
.
試題解析:
(Ⅰ)依題意,在等腰梯形中,
,
,
∵,∴
即
,
∵,∴
,而
,∴
.
連接,∵四邊形
是菱形,∴
,
∴,∵
,∴
.
(Ⅱ)取的中點
,連接
,因為四邊形
是菱形,且
.
所以由平面幾何易知,∵
,∴
.
故此可以、
、
分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系,各點的坐標依次為:
,
,
,
,
,
.
設平面和平面
的法向量分別為
,
,
∵,
.
∴由 ,令
,則
,
同理,求得.
∴,故二面角
的平面角的正切值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,已知橢圓
(
)的左焦點為
,離心率為
,過點
且垂直于長軸的弦長為
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過點的直線與橢圓相交于不同兩點
、
,求
面積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點在橢圓
上,
為橢圓
的右焦點,
分別為橢圓
的左,右兩個頂點.若過點
且斜率不為0的直線
與橢圓
交于
兩點,且線段
的斜率之積為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與
相交于點
,證明:
三點共線.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某食品集團生產的火腿按行業(yè)生產標準分成8個等級,等級系數依次為1,2,3,…,8,其中
為標準
,
為標準
.已知甲車間執(zhí)行標準
,乙車間執(zhí)行標準
生產該產品,且兩個車間的產品都符合相應的執(zhí)行標準.
(1)已知甲車間的等級系數的概率分布列如下表,若
的數學期望E(X1)=6.4,求
,
的值;
X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.2 |
(2)為了分析乙車間的等級系數,從該車間生產的火腿中隨機抽取30根,相應的等級系數組成一個樣本如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用該樣本的頻率分布估計總體,將頻率視為概率,求等級系數的概率分布列和均值;
(3)從乙車間中隨機抽取5根火腿,利用(2)的結果推斷恰好有三根火腿能達到標準的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為探索課堂教學改革,江門某中學數學老師用傳統(tǒng)教學和“導學案”兩種教學方式,在甲、乙兩個平行班進行教學實驗。為了解教學效果,期末考試后,分別從兩個班級各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計,得到如下莖葉圖。記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”。
(Ⅰ)請大致判斷哪種教學方式的教學效果更佳,并說明理由;
(Ⅱ)構造一個教學方式與成績優(yōu)良列聯表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關”?
(附:,其中
是樣本容量)
獨立性檢驗臨界值表:
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