【題目】已知函數(shù),若函數(shù)在上存在兩個極值點.
(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)證明:.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)求出,分析的符號,的根的個數(shù)滿足的條件.
(Ⅱ)不妨設,令,,將目標不等式的參數(shù)減少,用分析的方法最后證明:,構造函數(shù)證明即可.
(Ⅰ)函數(shù)的定義域為,
因為,
令
所以.
當時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
即在上單調(diào)遞增,
在上至多一個零點,
所以在上至多一個極值點,不滿足條件.
當時,由,得(負根舍去),
當時,,
當時,,
所以函數(shù)在)上單調(diào)遞減;
在上單調(diào)遞增.
所以,
要使函數(shù)在上存在兩個極值點
則函數(shù)有兩個零點,即有兩個零點
首先,解得.
因為,且,
下面證明:.
設,
則.
因為,所以.
所以在上單調(diào)遞減,
所以.
所以實數(shù)的取值范圍為.
(Ⅱ)因為,是函數(shù)的兩個極值點,
所以,是函數(shù)的兩個零點
即,是函數(shù)的兩個零點,
不妨設,令,則.
所以即.
所以,即,,.
要證,需證.
即證,即證.
因為,所以即證.
設,
則.
所以在上單調(diào)遞減,
所以.
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上,當PA最長時,則______________;四棱錐P-ABCD的體積為______________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《山東省高考改革試點方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學等六門選考科目構成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級.參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉換法則,分別轉換到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.
某校高一年級共2000人,為給高一學生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N(60,169).
(Ⅰ)求物理原始成績在區(qū)間(47,86)的人數(shù);
(Ⅱ)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取3人,記X表示這3人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.
(附:若隨機變量,則,,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)的圖象上存在兩點,使得是以為直角頂點的直角三角形(其中為坐標原點),且斜邊的中點恰好在軸上,則實數(shù)的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在貫徹中共中央、國務院關于精準扶貧政策的過程中,某單位在某市定點幫扶甲、乙兩村各50戶貧困戶為了做到精準幫扶,工作組對這100戶村民的年收入情況、勞動能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患病情況等進行調(diào)查,并把調(diào)查結果轉化為各戶的貧困指標x,將指標x按照分成五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
規(guī)定若,則認定該戶為“絕對貧困戶”,否則認定該戶為“相對貧困戶”,且當時,認定該戶為“低收入戶”;當時,認定該戶為“亟待幫助戶”,已知此次調(diào)查中甲村的“絕對貧困戶”占甲村貧困戶的24%.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為絕對貧困戶數(shù)與村落有關;
甲村 | 乙村 | 總計 | |
絕對貧困戶 | |||
相對貧困戶 | |||
總計 |
(2)若兩村“低收入戶”中乙村“低收入戶”占比為,兩村“亟待幫助戶”中乙村“亟待幫助戶”占比為,且乙村貧困指標在上的戶數(shù)成等差數(shù)列,試估計乙村貧困指標x的平均值.
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務質(zhì)量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)該折線圖,判斷下列結論:
(1)月接待游客量逐月增加;
(2)年接待游客量逐年增加;
(3)各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月;
(4)各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn).
其中正確結論的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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