Question

已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)面分別為a，b，c，向量

m

=（

a

sinC

，c-2b），向量

n

=（sin2C，1），且滿足

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用兩向量垂直時(shí)其數(shù)量積為0，利用關(guān)系式，整理后求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由a，sinA的值，利用正弦定理表示出b與c，表示出三角形的周長l，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（

a

sinC

，c-2b），向量

n

=（sin2C，1），且滿足

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即

a

sinC

•sin2C+c-2b=0，即2acosC+c-2b=0，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinAcosC+sinC-2sinB=0，
即2sinAcosC-2sin（A+C）=-sinC，
即2sinAcosC-2sinAcosC-2cosAsinC=-sinC，
∴cosA=

1

2

，
則A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=1，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∴b=

2 3

3

sinB，c=

2 3

3

sinC，
∴△ABC的周長為l=a+b+c=1+

2 3

3

（sinB+sinC），
∵sinC=sin（

2π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB，
∴l(xiāng)=1+

2 3

3

（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=1+2sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，
∴當(dāng)B=

π

3

時(shí)，△ABC周長的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．