Question

已知數(shù)列{a_n}是以2為首項、1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列，若c_n=a_nb_n（n∈N^*），當c₁+c₂+…+c_n＞2015時，n的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可求得a_n=n+1，b_n=2^n-1，于是c_n=a_nb_n=（n+1）•2^n-1，利用錯位相減法可求得{c_n}的前n項和，從而可得答案．

解答： 解：∵a_n=2+（n-1）×1=n+1，b_n=2^n-1，
∴c_n=a_nb_n=（n+1）•2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2×1+3×2+4×2²+5×2³+…+（n+1）×2^n-1，
∴2T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，
∴-T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ
=2+（2+2²+2³+…+2^n-1）-（n+1）×2ⁿ
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ，
=-n•2ⁿ，
∴c₁+c₂+…+c_n=n•2ⁿ，
由n•2ⁿ＞2015得：8•2⁸=2¹¹=2024＞2015，
∴n的最小值為8．
故答案為：8．

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，著重考查錯位相減法的應(yīng)用，屬于中檔題．