Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x2

3

sinxcosx，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若f（A）=1，a=

3

，b+c=3，試求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=1，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把a與cosA的值代入得到關(guān)系式，已知等式b+c=3變形得到關(guān)系式，聯(lián)立求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面積公式即可確定出三角形ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，得：2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-bc=3①，
由b+c=3得：b²+c²+2bc=9②，
②-①得：3bc=6，即bc=2，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．