在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-
7
7
a，0)，B(
7
7
a，0)(a＞0)，兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足
MA
+
MB
+
MC
=
0
，|
NC
|=
7
|
NA
|=
7
|
NB
|，向量
MN
與
AB
共線．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）若過點(diǎn)P（0，a）的直線與（1）的軌跡相交于E、F兩點(diǎn)，求
PE
•
PF
的取值范圍．
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ為C點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)△ABC的重心的充要條件表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A和B坐標(biāo)以及距離的關(guān)系求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間的距離公式代入|
NC
|=
7
|
NA
|，進(jìn)行化簡(jiǎn)求出點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）由題意設(shè)出點(diǎn)E、F和直線的方程，聯(lián)立直線方程和軌跡方程，消去y得到關(guān)于x的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理列出兩根和以及積的式子，由判別式的符號(hào)求出k2-3的范圍，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出
PE
•
PF
關(guān)于k的式子，根據(jù)求出的范圍，即求出
PE
•
PF
的范圍；
（3）設(shè)出Q的坐標(biāo)并代入軌跡方程，由特殊情況QH⊥x軸求出λ的值，根據(jù)點(diǎn)G和H坐標(biāo)求出兩個(gè)角的正切值，由兩個(gè)角的范圍和正切值進(jìn)行判斷是否成立．
解答：（1）設(shè)C（x，y），由
MA
+
MB
+
MC
=0知，
∴M是△ABC的重心，∴M(
x
3
，
y
3
)．
∵|
NA
|=|
NB
|且向量
MN
與
AB
共線，∴N在邊AB的中垂線上，
∵A(-
7
7
a，0)，B(
7
7
a，0)(a＞0)，∴N(0，
y
3
)，
又∵|
NC
|=
7
|
NA
|，∴x2+
4
9
y2=7(
a2
7
+
y2
9
)，化簡(jiǎn)得x2-
y2
3
=a2，
即所求的軌跡方程是x2-
y2
3
=a2．
（2）設(shè)E（x1，y1）、F（x2，y2），過點(diǎn)P（0，a）的直線方程為y=kx+a，
代入x2-
y2
3
=a2得（3-k2）x2-2akx-4a2=0，
∴x1+x2=
2ak
3-k2
，x1x2=
-4a2
3-k2
，且△=4a2k2+16a2（3-k2）＞0，解得k2＜4．
∴k2-3＜1，則
4
k2-3
＞4或
4
k2-3
＜0，
∴
PE
•
PF
=(x1，y1-a)•(x2，y2-a)=x1x2+kx1•kx2=(1+k2)x1x2=
-4a2(1+k2)
3-k2

=4a2(1+
4
k2-3
)，
則
PE
•
PF
的取值范圍是（-∞，4a2）∪（20a2，+∞）．
（3）設(shè)Q（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則
x
2
0
-
y
2
0
3
=a2，即y02=3（x02-a02）．
當(dāng)QH⊥x軸時(shí)，x0=2a，y0=3a，∴∠QGH=
π
4
，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
當(dāng)QH不垂直x軸時(shí)，tan∠QHG=-
y0
x0-2a
，tan∠QGH=
y0
x0+a
，
∴tan2∠QGH=
2tan∠QGH
1-tan2∠QGH
=
2y0
x0+a
1-(
y0
x0+a
)2
=-
y0
x0-2a
=tan∠QHG．
又2∠QGH與∠QHG同在(0，
π
2
)∪(
π
2
，π)內(nèi)，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)，利用△ABC的重心的充要條件和距離公式求出軌跡方程，主要利用解析法中的設(shè)而不求思想，即根據(jù)題意列出方程組，根據(jù)韋達(dá)定理和判別式列出式子，把式子整體代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，此題綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)多，考查了分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-1，0）B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足下列條件：①
GA
+
GB
+
GC
=
0
；②|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|；③
GM
∥
AB
．
（1）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)P（3，0）的直線l與（1）中軌跡交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，求△OEF面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn（n，2n），其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)A0，記A1為A0關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn)，A2為A1關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn)，…，An為An-1關(guān)于點(diǎn)Pn的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求向量
A0A2
的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A0在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A2的軌跡是函數(shù)y=f（x）的圖象，其中f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，f（x）=lgx．求以曲線C為圖象的函數(shù)在（1，4]上的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P（0，1），Q（2，3），對(duì)平面上任意一點(diǎn)B0，記B1為B0關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)，B2為B1關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)，B3為B2關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)，B4為B3關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)，…，Bi為Bi-1關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)，Bi+1為Bi關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)，Bi+2為Bi+1關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)（i≥1，i∈N）…．則
B0B10
=
（20，20）
（20，20）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足下列條件：
（1）
GA
+
GB
+
GC
=
O

（2）|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|
（3）
GM
∥
AB

則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•金山區(qū)一模）在直角坐標(biāo)平面中，若F1、F2為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，a＞0為常數(shù)，則“|PF1|+|PF2|=2a”是“點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，以2a為長(zhǎng)軸的橢圓”的（　　）

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