Question

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別為A（-1，0）B（1，0），平面內(nèi)兩點G，M同時滿足下列條件：①

GA

+

GB

+

GC

=

0

；②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；③

GM

∥

AB

．
（1）求△ABC的頂點C的軌跡方程；
（2）過點P（3，0）的直線l與（1）中軌跡交于不同的兩點E，F(xiàn)，求△OEF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別設(shè)出點C、G、M的坐標(biāo)，利用條件|

MA

|=|

MB

|求出M的橫坐標(biāo)，結(jié)合

GM

∥

AB

可得G和M的縱坐標(biāo)相等，然后利用

GA

+

GB

+

GC

=

0

把G和M的坐標(biāo)用C的坐標(biāo)表示，代入|

MB

|=|

MC

|即可得到C的軌跡方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到E、F兩點的橫坐標(biāo)的和與積，寫出面積后得到關(guān)于直線斜率k的表達式，利用換元法降冪，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答：（1）解：設(shè)C（x，y），G（x₀，y₀），M（x_M，y_M）．
∵|

MA

|=|

MB

|，
∴M點在線段AB的中垂線上．由已知A（-1，0），B（1，0），∴x_M=0．
又∵

GM

∥

AB

，∴y_M=y₀．又

GA

+

GB

+

GC

=

0

，
∴（-1-x₀，-y₀）+（1-x₀，-y₀）+（x-x₀，y-y₀）=（0，0）
∴x0=

x

3

，y0=

y

3

，∴yM=

y

3

． 
∵|MB|=|MC|，∴

(0-1)2+( y 3 -0)2

=

(0-x)2+( y 3 -y)2

，
∴x2+

y2

3

=1（y≠0），∴頂點C軌跡方程為x2+

y2

3

=1（y≠0）．
（2）設(shè)直線l方程為：y=k（x-3）（k≠0），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由

y=k(x-3) x2+ y2 3 =1

，消去y得：（k²+3）x²-6k²x+9k²-3=0   ①
∴x1+x2=

6k2

k2+3

，x1x2=

9k2-3

k2+3

． 
由方程①知△=（6k²）²-4（k²+3）（9k²-3）＞0，
∴k²＜

3

8

，∵k≠0，∴0＜k²＜

3

8

．  
而S△ABC=

1

2

×3×|y1-y2|=

3

2

×|k|•|x1-x2|=

3|k|

2

(x1+x2)2-x1x2

=

3|k|

2(k2+3)

36-96k2

=3

9k2-24k4 k4+6k2+9

．
令k²=t，則t∈(0，

3

8

)，S△ABC=3

9t-24t2 t2+6t+9

．記f(t)=

9t-24t2

(t+3)2

(0＜t＜

3

8

)，
求導(dǎo)后可得當(dāng)t=

3

17

時△OEF面積有最大值為

3

2

．

點評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，是直線與圓錐曲線的綜合題，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，訓(xùn)練了換元法，考查了導(dǎo)數(shù)在求最值中的作用，該題涉及條件多，解答的關(guān)鍵是找準(zhǔn)入手點，是有一定難度題目．