Question

（2013•寧波模擬）在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），平面內(nèi)兩點G、M同時滿足下列條件：
（1）

GA

+

GB

+

GC

=

O

（2）|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|
（3）

GM

∥

AB

則△ABC的頂點C的軌跡方程為（　　）

• A．

  x2

  3

  +y2=1（y≠0）
• B．

  x2

  3

  -y2=1（y≠0）
• C．x2+

  y2

  3

  =1（y≠0）
• D．x2-

  y2

  3

  =1（y≠0）

Answer 1

分析：由題目給出的條件，分別得到G為三角形ABC的重心，M為三角形ABC的外心，設(shè)出G點坐標(biāo)，由GM∥AB，可知M和G具有相同的縱坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式得到C點的坐標(biāo)，然后由M到A和C的距離相等列式可得G的軌跡方程，利用代入法轉(zhuǎn)化為C的軌跡方程．

解答：解：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

得，G為重心，
由

MA

=

MB

=

MC

得，M為外心．
所以M點在y軸上（M到AB兩點距離相等）．
又

GM

∥

AB

，則GM∥AB．
設(shè)M為（0，y），G為（x，y）（y≠0），由重心坐標(biāo)公式得C為（3x，3y）．
再由MA=MC，得

12+y2

=

(3x)2+(y-3y)2

．
整理得：9x²+3y²=1①．
再設(shè)c（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x=

x′

3

，y=

y′

3

．
代入①得：(x′)2+

(y′)2

3

=1．
所以△ABC的頂點C的軌跡方程為x2+

y2

3

=1  (y≠0)．
故選C．

點評：本題考查了軌跡方程，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件判出G點是三角形ABC的重心，M為外心，考查了三角形的重心坐標(biāo)公式，訓(xùn)練了代入法求曲線方程，此題屬中檔題．