Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥DC，DC=4，∠DAB=60°，側(cè)面△PAD和△PAB均為邊長為2的正三角形，M為線段PC的中點．
（Ⅰ）求證：PD⊥AB；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ）試問：在線段AB上是否存在點N，使得MN與平面PDB的交點恰好是△PDB的重心？若存在，求出AN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取A．B中點Q，連結(jié)DQ，PQ，由已知得AB⊥DQ，AB⊥PQ，由此能證明AB⊥PD．
（2）過P作PO⊥平面ABD于O，PE⊥CB交CB的延長線于E，連結(jié)OE，連結(jié)AO并延長交BD于F，由已知得∠PEO為二面角P-BC-D的平面角，由此能求出二面角P-BC-D的平面角的正切值．
（3）取PD的中點K，連結(jié)BK，MK，則KM平行且等于AB，四邊形ABMK為平行四邊形，取△PBD的重心G，連結(jié)MG并延長交BA于N，由此能示出不存在點N，使得MN與平面PDB的交點恰好是△PDB的重心．

解答： （1）證明：取AB中點Q，連結(jié)DQ，PQ，
∵AD=BD，∴AB⊥DQ，
同理AB⊥PQ，∴AB⊥平面PDQ，
∴AB⊥PD．…（4分）
（2）解：過P作PO⊥平面ABD于O，
PE⊥CB交CB的延長線于E，連結(jié)OE，
連結(jié)AO并延長交BD于F，
則BC⊥OE，
∴∠PEO為二面角P-BC-D的平面角，…（6分）
OE=BF=1，AF=

3

，AO=

2 3

3

，PO=

2 6

3

，
tan∠POE=

2 6 3

1

=

2 6

3

．…（9分）
（3）解：取PD的中點K，連結(jié)BK，MK，
則KM平行且等于AB，四邊形ABMK為平行四邊形
取△PBD的重心G，連結(jié)MG并延長交BA于N，
則

KM

BN

=

KG

GB

=

1

2

，
BN=2KM=4
∴點N在BA的延長線上，且AN=2，
∴不存在點N，使得MN與平面PDB的交點恰好是△PDB的重心．…（15分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查角的正切值的求法，考查三角形重心的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．