Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，A、B、C是圓O上三點，AD是∠BAC的角平分線，交圓O于D，過B作圓O的切線交AD的 延長線于E．
（Ⅰ）求證：∠EBD=∠CBD；
（Ⅱ）求證：AB•DE=CD•BE．

Answer 1

分析：（I）根據弦切角定理，證出∠EBD=∠BAD．由AD是∠BAC的角平分線證出弧BD=弧CD，從而可得∠BAD=∠CBD，即可得到∠EBD=∠CBD；
（II）根據∠BEA=∠DEB且∠EBD=∠EAD，證出△ABE∽△BDE，可得AB•DE=BD•BE．再根據（I）的結論得到BD=CD，代入前面的等式即可AB•DE=CD•BE．

解答：證明：（I）∵BE切圓O于點B，∴∠EBD=∠BAD．
又∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，可得弧BD=弧CD，
∴∠CBD對弧BD，∠BAD對弧CD，∴∠BAD=∠CBD，
因此，可得∠EBD=∠CBD；
（II）∵∠BEA=∠DEB，∠EBD=∠EAD，
∴△ABE∽△BDE，可得

AB

BD

=

BE

DE

，即AB•DE=BD•BE．
∵由（I）的證明得弧BD=弧CD，可得BD=CD，
∴AB•DE=CD•BE．

點評：本題在圓中給出角平分線與切線，求證角相等并證明線段的等積式．著重考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、圓的切線的性質等知識，屬于中檔題．