Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x）+log_a（1-x），其中a＞0，a≠1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）是否具有奇偶性，如果有，請(qǐng)給出證明；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即可求出，
（2）利用偶函數(shù)的定義即可證明
（3）需要分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）+log_a（1-x），
∴

1+x＞0 1-x＞0

，
解得，-1＜x＜1，
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），
（2）函數(shù)為偶函數(shù)，
理由如下：f（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)．
（3）f（x）=log_a（1+x）+log_a（1-x）=log_a（1-x²），
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，0）為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，有最大值，最大值f（0）=0，無(wú)最小值，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，0）為減函數(shù)，在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，有最小值，最小值f（0）=0，無(wú)最大值，
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，值域?yàn)椋?∞，0），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，值域?yàn)椋?，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，判斷函數(shù)的奇偶性的方法，屬于中檔題．