Question

【題目】如圖1所示，在等腰梯形ABCD中， ．把△ABE沿BE折起，使得 ，得到四棱錐A﹣BCDE．如圖2所示．
（1）求證：面ACE⊥面ABD；
（2）求平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在等腰梯形ABCD中BC=3，AD=15，BE⊥AD，可知AE=6，DE=9．

因為 ，可得CE=6．

又因為 ，即AC2=CE2+AE2，則AE⊥EC．

又BE⊥AE，BE∩EC=E，可得AE⊥面BCDE，故AE⊥BD．

又因為 ，

則∠DBE=60°， ，則∠BEC=30°，

所以CE⊥BD，

又AE∩EC=E，所以BD⊥面ACE，

又BD面ABD，所以面ABD⊥面ACE

（2）解：設EC∩BD=O，過點O作OF∥AE交AC于點F，

以點O為原點，以OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣BCF．

在△BCE中，∵∠BEO=30°，BO⊥EO，

∴ ，則 ，

∵ ，

∴FO=3，則 ，

∵DE∥BC，DE=9，∴ ，∴ ，

∴ ，

設平面ABE的法向量為 ，

由 ，取 ，可得平面ABE的法向量為 =（ ），

設平面ACD的一個法向量為 ，

由 ，

取x2=1，可得平面ABE的一個法向量為 =（1，﹣3 ，﹣3 ）．

設平面ABE與平面ACD所成銳二面角為θ，

則cosθ= = = ，

所以平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出AE⊥EC，AE⊥BD，CE⊥BD，從而BD⊥面ACE，由此能證明面ABD⊥面ACE．（2）設EC∩BD=O，過點O作OF∥AE交AC于點F，以點O為原點，以OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O﹣BCF，利用向量法能求出平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．