Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）
（1）若x=

π

6

，求向量

a

與

c

的夾角；
（2）若f（x）=2

a

•

b

+1，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=

π

6

時(shí)可得

a

=(

3

2

，

1

2

)，結(jié)合

c

=（-1，0）算出

a

•

c

=-

3

2

且|

a

|=|

c

|=1．利用向量的夾角公式，結(jié)合平面向量夾角的范圍即可算出向量

a

與

c

的夾角大小；
（2）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，化簡得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，再由三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，即可算出f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）x=

π

6

時(shí)：

a

=(

3

2

，

1

2

)，且

c

=（-1，0）
∴可得

a

•

c

=-

3

2

，且|

a

|=|

c

|=1．
cos＜

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

=-

3

2

∴向量

a

與

c

的夾角等于

5π

6

；
（2）f（x）=2

a

•

b

+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=

2

sin(2x-

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z
可得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的周期公式等知識(shí)，同時(shí)考查了平面向量的數(shù)量積公式和夾角公式，屬于中檔題．