Question

已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y，則

1

x

+

1

y

=

 

，x+2y的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由對(duì)數(shù)的性質(zhì)：同底的對(duì)數(shù)的和即為積的對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)整理可得x，y的倒數(shù)和，再由1的代換，結(jié)合基本不等式，即可得到最小值．

解答： 解：log₂（x+y）=log₂x+log₂y即為
log₂（x+y）=log₂（xy），
即有x+y=xy，
則

1

x

+

1

y

=1；
即有x+2y=（x+2y）×1=（x+2y）•（

1

x

+

1

y

）=3+

x

y

+

2y

x

（x，y＞0）
≥3+2

x y • 2y x

=3+2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

y取得最小值3+2

2

．
故答案為：1，3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．