Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3且2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N⁺）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中b1=-

3

2

，bn+1=-

2

3

Sn(n∈N+).
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

，求Tn的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1=a_n+2+a_n可得數(shù)列{a_n為等差數(shù)列，由a₁=1，a₂=3可得d=2代入可求數(shù)列{a_n的通項(xiàng)公式；利用遞推公式bn=

Sn-Sn-1，n≥2 S1         n=1

，可得

bn+1

bn

=

1

3

，

b2

b1

=-

2

3

，數(shù)列{b_n從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，代入求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由于數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和．

解答：解：（1）∵2a_n+1=a_n+2+a_n∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，（1分）
∴公差d=a₂-a₁=2∴a_n=2n-1 （3分）
∵b_n+1=-

2

3

S_n∴b_n=-

2

3

S_n-1（n≥2）
b_n+1-b_n=-

2

3

bn，∴bn+1= 

1

3

bn
又∵b₂=-

2

3

S₁=1

b2

b1

=-

2

3

≠

1

3

∴數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)開始是等比數(shù)列，
∴bn=

- 3 2 ，(n=1) ( 1 3 )n-2，(n≥2)

（6分）
（2）∵n≥2時(shí)

an

bn

=(2n-1)•3n-2（7分）∴Tn=

a1

b1

+

a2

b2

++

an

bn

=-

2

3

+3×30+5×31+7×32++(2n-1)×3n-2
∴3T_n=-2+3×3¹+5×3²+7×3³++（2n-1）×3^n-1（10分）
錯(cuò)位相減并整理得Tn=-

2

3

+(n-1)×3n-1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由等差中項(xiàng)法證明數(shù)列是等差數(shù)列進(jìn)而求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推公式求證等比數(shù)列，運(yùn)用遞推公式時(shí)一定要注意n≥2的條件及對n=1的檢驗(yàn)；錯(cuò)位相減求和是數(shù)列求和的重要方法，要注意掌握．