【題目】已知函數(shù),其中實數(shù)
.
(Ⅰ)判斷是否為函數(shù)
的極值點,并說明理由;
(Ⅱ)若在區(qū)間
上恒成立,求
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)是函數(shù)
的極值點;(Ⅱ)
.
【解析】試題分析: (Ⅰ)對函數(shù)求導,將
代入導函數(shù)的分子
,可得函數(shù)值為0,根據(jù)判別式結(jié)合
驗證可得, 1是函數(shù)
的異號零點,所以
是函數(shù)
的極值點.(Ⅱ)分類討論參數(shù)a, 當
時,函數(shù)
單調(diào)遞減,所以
恒成立;當
時,在區(qū)間
上
單調(diào)遞增,所以
,所以不等式不能恒成立.
試題解析:(Ⅰ)由可得函數(shù)
定義域為
.
,
令,經(jīng)驗證
,
因為,所以
的判別式
,
由二次函數(shù)性質(zhì)可得,1是函數(shù)的異號零點,
所以是
的異號零點,
所以是函數(shù)
的極值點.
(Ⅱ)已知,
因為,
又因為,所以
,
所以當時,在區(qū)間
上
,所以函數(shù)
單調(diào)遞減,所以有
恒成立;
當時,在區(qū)間
上
,所以函數(shù)
單調(diào)遞增,
所以,所以不等式不能恒成立;
所以時,有
在區(qū)間
恒成立.
點睛:本題考查學生的是導數(shù)在單調(diào)性以及恒成立問題的應用,屬于中檔題目. 導數(shù)與極值點的關系:(1)定義域D上的可導函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0,并且f′(x)在x0兩側(cè)異號,若左負右正為極小值點,若左正右負為極大值點;(2)函數(shù)f(x)在點x0處取得極值時,它在這點的導數(shù)不一定存在,例如函數(shù)y=|x|,結(jié)合圖象,知它在x=0處有極小值,但它在x=0處的導數(shù)不存在;(3)f′(x0)=0既不是函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的充分條件也不是必要條件.最后提醒學生一定要注意對極值點進行檢驗.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【2015高考湖北】如圖,圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圓C的標準方程為________.
(2)過點A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點,下列三個結(jié)論:
①=
;②
-
=2;
③+
=2
.
其中正確結(jié)論的序號是________(寫出所有正確結(jié)論的序號).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=2an﹣2(n∈N+)
(1)求{an}的通項公式;
(2)若bn=3nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為.
(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大��;
(2)若E是PB的中點,求異面直線PD與AE所成角的正切值;
(3)問在棱AD上是否存在一點F,使EF⊥側(cè)面PBC,若存在,試確定點F的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
,與
軸不重合的直線
經(jīng)過左焦點
,且與橢圓
相交于
,
兩點,弦
的中點為
,直線
與橢圓
相交于
,
兩點.
(Ⅰ)若直線的斜率為1,求直線
的斜率;
(Ⅱ)是否存在直線,使得
成立?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某公園有三條觀光大道圍成直角三角形,其中直角邊
,斜邊
.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在
大道上嬉戲,所在位置分別記為點
.
(1)若甲乙都以每分鐘的速度從點
出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端
時即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當乙出發(fā)1分鐘后,求此時甲乙兩人之間的距離;
(2)設,乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍,且
,請將甲
乙之間的距離表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,甲船以每小時 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處,此時兩船相距20海里,當甲船航行20分鐘到達A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時兩船相距
海里,問乙船每小時航行多少海里?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域為D,滿足:①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在[ ]D,使得f(x)在[
]上的值域為[a,b],那么就稱函數(shù)y=f(x)為“優(yōu)美函數(shù)”,若函數(shù)f(x)=logc(cx﹣t)(c>0,c≠1)是“優(yōu)美函數(shù)”,則t的取值范圍為( )
A.(0,1)
B.(0, )
C.(﹣∞, )
D.(0, )
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