Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象在x=1處與直線y=4+d相切，
（1）試求b，c的值；
（2）若函數(shù)f（x）有3個零點，試求d的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過切點圖象上一點得到一個方程，再利用切線的斜率得到第二個方程，聯(lián)列方程組后，求出參數(shù)b，c的值；
（2）通過求函數(shù)的單調(diào)性，和函數(shù)極大值和極小值，要求函數(shù)圖象與x軸的有三個交點得到本題的解．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象在x=1處與直線y=4+d相切，
∴f（1）=4+d，f'（1）=0，
即：1+b+c+d=4+d，3+2b+c=0，
∴b=-6，c=9．
（2）由（1）知：f（x）=x³-6x²+9x+d．
f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當x∈（-∞，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x∈（1，3）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∵函數(shù)f（x）有3個零點，
∴極大值f（1）＞0，極小值f（3）＜0．
∴-4＜d＜0．

點評：本題考查的是導數(shù)知識，利用導數(shù)研究曲線的切線，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．本題是關于導數(shù)知識的常規(guī)題，計算難度不大，屬于中檔題．