Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，若△AF₁F₂為正三角形且周長為6；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若橢圓C上存在A，B兩點關于直線y=x+m對稱，求實數m的取值范圍；
（3）若直線l：y=kx+n與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證直線l過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由已知條件推導出

a=2c 6c=6

，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設直線AB的方程為y=-x+p，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）由

3x2+4y2=12 y=-x+p

，得7x²-8px+4p²-12=0，由此利用根的判別式和韋達定理能求出實數m的取值范圍．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，推導出7m²+16mk+4k²=0，由此能求出直線l過定點（

2

7

，0）．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，
△AF₁F₂為正三角形且周長為6，
∴

a=2c 6c=6

，解得c=1，a=2，b²=4-1=3，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設直線AB的方程為y=-x+p，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

3x2+4y2=12 y=-x+p

，得7x²-8px+4p²-12=0
∵△=64p²-28（4p²-12）＞0，
∴-

7

＜n＜

7

∵x₁+x₂=

8p

7

，x₁x₂=

4p2-12

7

，
設A．B的中點C（x₀，y₀），
則 x0=

4p

7

，y0=

5

7

p，
點C在l：y=x+m上
∴p=7m，即-

7

＜7m＜

7

，得-

7

7

＜m＜

7

7

．
∴實數m的取值范圍是（-

7

7

，

7

7

）．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k²-m²＞0，
x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x₁x₂=

4(m2-3)

3+4k2

，
∴y₁y₂=

3(m2-4k2)

3+4k2

，
∵以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，∴k_AD•k_BD=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0，
∴m₁=-2k，m₂=-

2

7

k，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當m₁=-2k時，l的方程為y=k（x-2），則直線過定點（2，0）與已知矛盾
當m1=-

2

7

時，l的方程為y=k（x-

2

7

），則直線過定點（

2

7

，0）
∴直線l過定點，定點坐標為（

2

7

，0）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查直線過定點的判斷與定點的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．